هدف درس آمار و احتمالات مهندسی
هدف از این درس، آشنایی دانش جویان با مفاهیم بنیادین تئوری احتمال و استنتاج آماری و کاربردهای آن در مهندسی کامپیوتر، مانند مساله ی مدل سازی داده ها مانند رگرسیون، است. این مفاهیم شامل تفسیر و اصول موضوعه ی آمار، توابع توزیع احتمال تک و چندمتغیره، احتمال شرطی و استقلال آماری، متغیرهای تصادفی و متوسط گیری، توابع تعریف شده روی متغیرهای تصادفی، خانواده توزیع های نمایی، قضیه ی حد مرکزی و قانون اعداد بزرگ، و تست فرضیه می شود.
سرفصل های درس آمار و احتمالات مهندسی
- تفسیرهای احتمال
- اصول موضوعه‌ی احتمال
- عملگرهای روی رخداده
- استقلال آماری، احتمال شرطی و قاعده بیز
- متغیرهای تصادفی
- امید ریاضی و خواص آن
- ممان‌های مرتبه بالا و تابع مشخصه
- توابع تعریف شده روی یک متغیر تصادفی
- تابع توزیع احتمال مشترک (Joint Probability Distribution
- تابع چگالی و قانون بیز
- توزیع پیشین مزدوج (Conjugate Prior Distribution)
- خانواده‌ی نمایی (Exponential Family
- توزیع‌های خاص
- ممان‌های مشترک (Joint Moments)
- توابع تعریف شده روی دو یا چند متغیر تصادفی
- قضیه‌ی حد مرکزی (Central Limit Theorem)
- قانون اعداد بزرگ (Law of Large Numbers)
- همگرایی در احتمال (Convergence in Probability)
- تخمین‌گرهای بیشینه درست‌نمایی (Maximum Likelihood ) و بیشینه احتمال پسین (Maximum a Posteriori Probability )
- تخمین بیز(Bayes Estimation
- خصوصیات تخمین‌گرها
- تست‌های آماری و تست فرضیه (Statistical and Hypothesis Tests)
اهمیت یادگیری آمار و احتمالات مهندسی
امروزه در علوم مهندسی و به خصوص مهندسی صنایع و رایانه، علم آمار کاربرد زیادی پیدا کرده است، به طوری که هیچ طرح تحقیقاتی بدون استفاده از فنون آماری انجام نمی گیرد. این درس یکی از دروس مهمی است که در اکثر رشته‌های مهندسی در دانشگاه تدریس می‌شود.
آگاهی از روش‌های آماری در انجام امور کنترل کیفیت تولید نقش مهمی دارد. بنابراین آموزش آمار برای رشته‌های غیرآماری ضرورت پیدا کرده است. بنابراین آمار و احتمال مهندسی از مهم‌ترین ابزارهای تحلیلی در حوزه‌های مختلف مهندسی محسوب می‌شوند. این ابزارها می‌توانند به مهندسان در تصمیم‌گیری‌هایشان کمک کنند و درک بهتری از پدیده‌های مختلف در حوزه‌های مختلف مهندسی را فراهم کنند.
سرفصل های کامل آمار احتمالات مهندسی:
- فصل اول: آمار توصیفی
- مقدمه
- تعاریف اولیه
- فراوانی
- فراوانی نسبی
- فروانی تجمعی نسبی
- جدول آماری
- جدول فراوانی برای داده‌های گسسته
- جدول فراوانی برای داده‌های پیوسته
- نمودارهای آماری
- نمودارهای آماری برای داده‌های گسسته
- نمودارهای میله‌ای
- نمودارهای دایره‌ای
- نمودارهای آماری برای داده‌های پیوسته
- هیستوگرام (نمودار ستونی)
- چند برابر فراوانی
- منحنی فراوانی
- پارامترهای مرکزی و پراکندگی
- پارامترهای مرکزی
- میانگین
- میانه
- مد یا نما
- چگالی توزیع فروانی
- مقدار عدم تقارن یا ضریب چولگی
- ضریب کشیدگی
- ادامه‌ی فصل اول
- پارامترهای پراکندگی
- دامنه‌ی داده‌ها
- میانگین انحرافات
- واریانس و انحراف استاندارد
- ضریب تغییرات
- تغییر مقیاس و مبدا
- تغییر مقیاس
- استاندارد سازی
- تغییر مبدا
- استاندارد سازی
- مسائل فصل اول
- فصل دوم: آنالیز ترکیبی و احتمال
- آنالیز ترکیبی
- جایگشت
- ترکیب‌های n شی به گروه‌های rتایی
- ترکیب و مسایل انتخاب
- فضای نمونه و پیشامد
- انواع پیشامد‌ها و اعمال روی پیشامد‌ها
- احتمال
- قوانین احتمال
- احتمال روی فضای نمونه‌ی نامتناهی
- فضای نمونه‌ی پیوسته
- احتمال شرطی
- قانون ضرب احتمال
- پیشامد‌های مستقل
- فرمول احتمال بینر و فرمول تفکیک احتمال
- فصل سوم: متغیرهای تصادفی و توابع توزیع
- تعریف متغیر تصادفی
- انواع متغیرهای تصادفی
- توابع توزیع و چگالی برای متغیرهای تصادفی گسسته
- خواص توابع توزیع
- توابع چگالی
- توابع توزیع و چگالی برای متغیرهای تصادفی پیوسته
- فصل چهارم: امید ریاضی
- امیدریاضی
- برخی از خواص امید ریاضی
- امید ریاضی تابعی از یک متغیر تصادفی
- گشتاورها
- تابع مولد گشتاور
- امیدریاضی برای متغیر تصادفی پیوسته
- فصل پنجم: متغیرهای تصادفی دو و چندبعدی
- متغیرهای تصادفی دو و چند بعدی
- تابع توزیع دومتغیره
- امیدریاضی و گشتاورها برای توابع چگالی دومتغیره
- کوواریانس یا همپراشی
- ضریب همبستگی خطی بین X و Y
- فصل ششم: برخی توابع توزیع گسسته
- برخی توابع توزیع گسسته
- متغیر تصادفی برنولی و دوجمله‌ای
- متغیر تصادفی دو جمله‌ای
- مد توزیع دوجمله‌ای
- متغیر تصادفی هندسی (نوع اول)
- متغیر تصادفی هندسی (نوع دوم)
- متغیر تصادفی دوجمله‌ای منفی (نوع اول)
- متغیر تصادفی دوجمله‌ای منفی (نوع دوم)
- متغیر تصادفی فوق هندسی
- تقریب توزیع فوق هندسی به وسیله‌ی توزیع دوجمله‌ای
- متغیر تصادفی پواسن
- مد توزیع پواسن
- تقریب توزیع دوجمله‌ای به وسیله‌ی متغیر پواسن
- توزیع یکنواخت
- فصل هفتم: توزیع‌های مبتنی بر متغیر تصادفی
- توزیع یکنواخت پیوسته
- متغیر تصادفی نمایی
- رابطه‌ی توزیع هندسی و توزیع نمایی
- توزیع گاما
- توزیع نرمال
- محاسبه‌ی مقادیر احتمال متغیر تصادفی نرمال
- تقریب توزیع دوجمله‌ای به توزیع نرمال
- تقریب توزیع پواسن به توزیع نرمال
- فصل هشتم: توزیع‌های نمونه‌ای
- نمودار تصادفی
- آماره‌ها
- آماره مرتب، میانه و برد نمونه
- تابع توزیع نمونه‌ای
- نامساوی چبی‌چف
- قضیه‌ی حد مرکزی
- فصل نهم: توزیع‌های برخی از آماره‌ها
- توزیع نمونه‌ای میانگین نمونه (ایکس بار)
- توزیع نمونه‌ای واریانس نمونه
- تابع توزیع آماره‌ی مرتب
- توزیع نمونه‌ای
- محاسبه‌ی مقادیر احتمال
- توزیع نمونه‌ای نسبت واریانس‌های نمونه
- تقریب توزیع F
- توزیع نمونه‌ای اختلاف میانگین‌ها
- فصل دهم: برآورد
- برآورد
- برآورد نقطه‌ای
- برآورد به روی گشتاورها
- برآورد به روش حداکثر احتمال
- خواص برآورد کننده‌ها
- متوسط مربع خطا (MSE)
- برآورد کننده‌ی سازگار
- قضیه
- آماره کافی
- خاصیت پایانی برآورد کننده‌ها
- برآورد فاصله‌ای
- فاصله‌ی اطمینان برای متغیر تصادفی نمایی با پارامتر مجهول
- فاصله‌ی اطمینان برای نسبت p با تعداد نمونه‌های زیاد در توزیع برنولی
- فاصله‌ی اطمینان برای تفاضل نسبت دو جامعه با تعداد نمونه‌های زیاد
- فاصله‌ی اطمینان برای نسبت واریانس‌های دو متغیر تصادفی نرمال
- فاصله‌ی اطمینان برای تفاضل میانگین‌های دو جامعه‌ی نرمال
- فصل یازدهم: آزمون فرض
- آزمون فرض
- فرض‌ها و آزمون‌ها
- ناحیه‌ی بحرانی و آماره‌ی آزمون
- خطای آزمون
- انواع فرض‌ها
- انواع آزمون‌ها
- مراحل انجام یک آزمون فرض
- آزمون فرض‌های آماری برای پارامترهای جامعه
- آزمون فرض برای میانگین نرمال با واریانس نامعلوم
- آزمون فرض برای واریانس یک جامعه‌ی نرمال
- آزمون فرض برای تفاضل میانگین‌ها
- آزمون فرض برای واریانس‌های دو جامعه
- فصل دوازدهم: رگرسیون
- رگرسیون
- رگرسیون خطی
- ضریب همبستگی و رگرسیون
- رگرسیون منحنی‌های چندجمله‌ای
- استنباط آماری بر روی ضرایب رگرسیون
- محاسبه‌ی برآوردهای a و b
- استنباط آماری بر روی b
- ضریب همبستگی
